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          HTML+CSS代碼實現圣誕樹

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          圖展示,圖中的五角星,還有白色的星星和點點是有動畫效果的。

          日寄語:希望十月諸事開心,無論是生活還是愛情

          用js 快速制作三角型

          !DOCTYPE html>

          <html lang="en">

          <head>

          <meta charset="UTF-8">

          <title>JavaScript 腳本語言學習星星經典案例|第10節</title>

          <script type="text/JavaScript">

          /**

          * 星星金字塔案例

          * 星星顯示效果

          * 第一行: * 1

          * 第二行: *** 3

          * 第三行: ***** 5

          * 第四行: ******* 7

          * 第五行: ********* 9

          *

          * 總結: 星星排列的規律

          * 1. 有行和列 (個數)

          * 2. 行數*2-1 就是每行的個數

          * 3. 每行的個數都遞增2個

          * 3. 假設是來只有5行

          */

          // 正三角星星金字塔代碼案例:

          // 用一個<p>標簽來包住輸出的星星

          document.write('<p style="text-align:center;">');

          var hang=5; // 初始化變量的行數

          for(var i=1; i<=hang; i++) { // for 循環輸出行數 5行

          for(var j=1;j<=2*i-1;j++) { // for循環用來表示的星星的個數

          document.write('*'); // *號用鍵盤上的shift+鍵盤上數字8

          }

          document.write("<br/>"); // 每循環輸出一行星星就在輸出一個換行

          }

          /**

          * 星星倒金字塔案例

          * 星星顯示效果:

          * 第一行:********* 9

          * 第二行: ******* 7

          * 第三行: ***** 5

          * 第四行: *** 3

          * 第五行: * 1

          *

          * 總結: 星星排列的規律

          * 1. 有行和列 (個數)

          * 2. 行數*2-1 就是每行的個數

          * 3. 星星每行顯示的個數是遞減2個

          *

          */

          // 倒三角代碼案例展示:

          for(var n=1;n<=hang*2-1;n+=2) { // 輸出 行數

          for(var m=(hang-1)*2-n;m>0;m--) { // 輸出星星數 因為是要拼接正三角,所以倒三角的行數要減1

          document.write('*');

          }

          document.write('<br/>');

          }

          document.write('</p>'); // </p>結束

          </script>

          </head>

          <body></body>

          </html>

          最后頁面顯示效果

          以上所列舉的只是其中的一種實輸出式,還有很多種js代碼可以實現兩個金字塔拼接成菱形的圖案。

          如果你們有想到更多的方法歡迎在評論區留言哦。

          學到這里來的朋友,是不是會發現js中更多的樂趣了呢?其實js 是一個非常有趣的腳本語言,他能夠實現非常多的動態效果,讓我們程序頁面在開發的時候不在那么死板和乏味。

          歡迎關注我,一起學習更多編程知識!

          本文為“第三屆數學文化征文比賽


          小折紙,有大歷史

          ——可以寫入教材的“一刀剪”最大精確五角星折法


          作者: 傅薇
          作品編號:038

          摘要: “一刀剪”五角星早已有之,筆者原以為也就幾十年的歷史。成文過程中發現這段長長的關于五角星折紙的故事可以補充進娛樂數學的數學史中。但早期的“一刀剪”五角星方法,不是角度不精確,就是成品率不高(非最大)。本人用了三年時間打造出一種精確的、最大的且步驟較少的“一刀剪”五角星方法。據此,還得出了非常有用的推論,如:根據折出的36度可以五等分角;聯合“折紙解決古希臘三大幾何難題”之折紙“三等分角”方法,可以折出任意整數角度等。


          關鍵詞:折紙、娛樂數學、一刀剪、五角星、36度、五等分角、黃金比例、five-pointed star、MIT、 Erik Demaine、Between the Folds、Martin Gardner、G4G、fold-and-cut、OSME、BOS、Sam Loyd、Harry Houdini、Betsy Ross、Fu Wei


          一、早期五角星/五邊形折紙的背景故事


          2.1 “一刀剪”問題及Erik Demaine父子的解答


          &概念介紹:什么是“一刀剪”?


          說到剪紙,大家應該不陌生,它是先折疊好紙,然后多刀剪,剪出某些特定圖案。也許剪紙中包括“一刀剪”。但“一刀剪”(Fold-and-Cut Magic)其實是一個數學謎題,這您知道嗎?


          “你拿出一張紙,任意折,但最后要是一個平面,然后用剪刀剪一條直線,再把這張紙打開,你需要解答剪完后會得出什么形狀?”這段話是Erik Demaine(麻省理工學院MIT有史以來最年輕教授)在折紙紀錄片《折疊之間》(Between the Folds)中的敘述,他和你的父親Martin Demaine解決這個“一刀剪”難題,獲得了“麥克阿瑟獎天才獎(MacArthur Fellowship)”( 該獎被視為美國跨領域最高獎項之一)。他們父子得出的結論是,“一刀剪”——經過有限次折疊,再一刀剪下去,可以得出任何圖形,其中包括“五角星”(five-pointed star)。


          圖 1: 折紙紀錄片《折疊之間》、Erik Demaine本人及他出版的書.

          &概念介紹:什么是G4G?

          G4G是Gathering for Gardner的縮寫,是Tom Rodgers創辦的紀念美國趣味數學大師馬丁·加德納(Martin Gardner)的社團,在國外每兩年舉行一次紀念活動,與會者都是秉承馬丁·加德納的娛樂數學思想,進行魔術、科學、拼圖、謎題、智玩等多種主題的分享,有心者還將各領域專家的分享錄成視頻或集結成書。Martin Gardner是Erik Demaine的偶像,Erik Demaine從小酷愛做謎題,也曾擔任過多年的G4G董事會主席,并為Martin Gardner編輯和出版過相關書籍。


          圖2: 三本G4G會議講座論文集及馬丁·加德納頭像.


          在第三本G4G會議論文集中,P23登載了Erik Demaine父子寫的關于“一刀剪”的文章。由下圖可見,其五角星不是正方形能裁的最大五角星。即便這個五角星是尖角碰到正方形的邊上,它也不是最大的,因為它是以正方形的中線為對稱軸;而正方形能裁的最大五角星是以正方形的一條對角線為對稱軸的。讀者可以自行想想原因。
          圖3: Tribute to a Mathemagician書中登載的 Fold-and-Cut Magic方法P23

          2.2 Sam Loyd書中記載的兩種五角星折法(包括中國傳統折法)

          Sam Loyd介紹說他的第一種方法是最早、最好的方法,利用5*3.5的長方形紙如下圖折疊。聰明的讀者可以證明,它折出的角是有誤差的,不是精確五等分角;并且特定比例的長方形紙不具有普適性。第二種也是中國的傳統五角星折法,同樣存在角度誤差。

          圖4: 1914年出版的Sam Loyd書中介紹的兩種五角星折法P 69.

          圖5: FW(筆者)證明了Sam Loyd書中兩種五角星折法存在角度誤差.

          2.3 五角星折法與逃脫大師哈里·胡德尼及美國國旗制作的關聯

          &概念介紹:什么是OSME會議?

          OSME全稱是International Meeting on Origami Science Mathematics and Education,譯成中文為折紙、科學、數學、教育國際會議,每四年舉辦一次,會吸引全球科學、數學、工程、教育、藝術等各領域的高端人士參加交流、作報告、交論文、出論文集/書等。可以說OSME是當今世界關于折紙跨界領域的最高端會議。筆者了解的最近兩屆分別是2016年在日本舉行的第六屆OSME6和2018年在英國牛津大學舉行的第七屆OSME7會議。

          OSME3論文集中列舉了“一刀剪”五角星與Harry Houdini、Martin Gardner、Demaine父子,甚至美國國旗設計者Betsy Ross的關聯。

          圖6: OSME3和OSME5論文集中提到關于“一刀剪”五角星的起源和折法.

          Harry Houdini(1874-1926)是世界著名的魔術師,二十世紀最偉大的脫逃大師。1922年他出版了一本書Paper Magic描述一些折紙技巧,2000年被重印。

          圖7: 2000年重印的Houdini書中記載了五角星的折法及筆者進行的驗證.

          如果說五角星的折法能追溯到第一面美國國旗國旗的誕生時刻,那么至少距今已有200多年了。

          圖8: 傳說中第一面美國國旗制作者Betsey Ross的五角星折法及筆者的驗證.

          至此,我們分析了幾個早期的“一刀剪”五角星折法,筆者作了驗證,可見他們不是正方形所能裁的最大五角星,亦或折的角度不精確,有誤差。那么,有沒有能折出精確最大五角星的方法呢?下面介紹一下筆者的方法。

          二、FuWei(FW)的五角星/五邊形折紙方法

          2.1 正五邊形折法

          2018年,因為一位折友的詢問,筆者研究了正五邊形、正七邊形的折法,有幸想出最大且精確的方法,步驟也不多。被OSME7大會副會長Mark Bolitho關注到,將這兩種方法刊登在當年2018年BOS(British Origami Society 英國折紙協會)Autumn 特刊Oxford Model Collection 上。

          圖9: 2018 BOS Autumn 雜志收錄了FW的最大精確正五和正七邊形的折法.

          隨后兩年,筆者重新審核了正五邊形折法,先后想出了近十種方法,最后總結出一種最精練的,隨后將這種方法引申出“一刀剪”五角星方法。
          圖10: FW想出的改進版最大、精確正五邊形折法.

          圖11: FW想出的最大、精確“一刀剪”五角星的方法(步驟中包括折出36°及五等分角方法).
          圖12: FW想出的改進版最大、精確“一刀剪”五角星的方法.

          2.2 黃金比例、正五邊形、折36°與五等分角

          圖13: 黃金比例、正五邊形及36°函數值之間的關系.

          圖14: FW的五等分角的證明(直角五等分=折出18°).

          2.3 利用古希臘三等分角折法與五等分角折法可折出任意整數角度 ※※

          由上一小節,我們可以得到36°角折法;在折紙中,45°角或30°角(參見圖8)很容易得到;再利用三等分角方法,即可得到1°,從而可通過折紙得到任意整數角度。這應該是目前折紙中最簡單精確的兩種方法了。

          (45°-°)/3/3=(°-°)/3/2=1° (1)
          圖15: 阿部恒(日)的折紙三等分銳角的步驟及FW的三等分角的證明.

          圖16: Jacques Justin折紙三等分鈍角的步驟及FW的三等分角的證明.

          三、總結


          本文從一個大家司空見慣的五角星折紙說起,引發出一連串的知名學者、會議、機構,甚至數學史和人文歷史,讓筆者深刻體會了什么叫“見微知著”。學問無大小,重在“學”和“問”,善于思考和發現問題,挖掘事物本質規律。關于這個200多年歷史的“一刀剪”五角星問題,筆者有幸接觸并給出了自己的結論,雖然跨越幾年的時間,但也學到很多東西。由于篇幅有限,還有些內容未能加入,比如:從折出黃金比例可類比折出其他金屬比例;由正五邊形折紙可設計黃金比例相關的折紙作品等等。文中提到Martin Gardner是Erik Demaine的榜樣,而Erik Demaine是筆者的榜樣,可以說榜樣的力量是不可估量的。在榜樣的研究成果上開拓創新既是精神上對學術榜樣的一種致敬,也是在科學研究上對所處領域的專研和發展,何爾而不為呢?這篇小文是我的研究,與君共享,希望你們喜歡。

          References
          【2020年馬丁加德納聚會主題分享:傅薇——一刀剪最大正五邊形-嗶哩嗶哩】https://b23.tv/eWWbVN
          【Erik Demaine的主頁】http://erikdemaine.org/
          【(紀錄片)折疊之間 Origami - Between The Folds【中配/原聲】-嗶哩嗶哩】https://b23.tv/P377LC
          【G4G】https://www.gathering4gardner.org/category/g4gn-recaps/
          【BOS】http://colortreelimited.co.uk/product/2018-model-collection-autumn-ebook/
          【Betsy】https://www.ushistory.org/betsy/flagstar.html
          【Houdini】http://209.237.170.79/magos/books/paper2/41.html


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          037 五光十色的數學之《數學及其歷史》觀后有感

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