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么是彈性布局？
用戶的文字大小與彈性布局
用戶的瀏覽器默認渲染的文字大小是“16px”，換句話說，Web頁面中“body”的文字大小在用戶瀏覽器下默認渲染是“16px”。當然，如果用戶愿意他可以改變這種字體大小的設置，用戶可以通過UI控件來改變瀏覽器默認的字體大小。
彈性設計有一個關鍵地方Web頁面中所有元素都使用“em”單位值?！癳m”是一個相對的大小，我們可以這樣來設置1em，0.5em，1.5em等，而且“em”還可以指定到小數點后三位，比如“1.365em”。而其中“相對”的意思是：
1.相對的計算必然會一個參考物，那么這里相對所指的是相對于元素父元素的font-size。比如說：如果在一個<div>設置字體大小為“16px”，此時這個<div>的后代元素教程了是將繼承他的字體大小，除非重新在其后代元素中進行過顯示的設置。此時，如果你將其子元素的字體大小設置為“0.75em”，那么其字體大小計算出來后就相當于“0.75 X 16px = 12px”；
2.如果用戶通過瀏覽器的UI控件改變了文字的大小，那么我們整個頁面也會進行放大（或縮?。?，不至于用戶改變了瀏覽器的字體后會致使整個頁面崩潰（我想這種現像大家都有碰到過，不信你就試試你自己制作過的項目，你會覺得很恐怖）。
大家可以查看這個彈性布局樣例。此時你使用瀏覽器的UI控件改變了文字的大小或者直接“ctrl + ”和“ctrl - ”，你會發現這個彈性布局實例，在瀏覽器改變字體大小瀏覽會做出相應的放大和縮小，并不會影響整個頁面的布局。注：這個實例的所有HTML和CSS在本教程中教程了都會使用到。
至于其他的彈性布局的實例，大家可以瀏覽Dan Cederholm的Simplebites，并改變文字的大小去瀏覽。
體驗后，是不是覺得彈性布局的頁面很靈活呀，而且也像“px”一樣的精確。因此，只要我們掌握了“font-size”、“px”和“em”之間的基本關系，我們就可以民以食快速使用CSS創建精確的布局。
CSS的Elastigirl引進EM
Elastigirl的“em”是極其強大和靈活的，他不管字體大小是什么，是12px，16或60，他都可以計算出其值。
em其實就是一種排版的測試單位，而且他的由來還有一段小故事，關于這段小故事我就不和大家說了，因為大家都不是來聽我講故事的，我想大還是喜歡知道他在CSS中的那些事。
在CSS中，“em”實際上是一個垂直測量。一個em等于任何字體中的字母所需要的垂直空間，而和它所占據的水平空間沒有任何的關系，因此：
如果字體大小是16px，那么1em=16px。
入門
在我們開始來了解CSS中的這個“em”之前，我們需要知道在瀏覽器下，他的默認字體大小。正好我們前面也這樣做了，在所有現代瀏覽器中，其默認的字體大小就是“16px”。因此在瀏覽器下默認的設置將是：
1em = 16px
因此，在一個CSS選擇器被寫入時，瀏覽器就有了一個“16px”大小的默認字體。此時我們Web頁面中的<body>就繼承了這個“font-size:16px;”，除非你在CSS樣式中顯式的設置<body>的“font-size”值，來改變其繼承的值。這樣一來，“1em = 16px”、“0.5em = 8px”、“10em = 160px”等等，那么我們也可以使用“em”來指定任何元素的大小。
設置Body的font-size
很多前輩在多年的實踐中得出一個經驗，他們建議我們在<body>中設置一個正文文本所需的字體大小，或者設置為“10px”，相當于（“0.625em或62.5%”），這樣為了方便其子元素計算。這兩種都是可取的。但是我們都知道，<body>的默認字體是“16px”，同時我們也很清楚了，我們改變了他的默認值，要讓彈性布局不被打破，就需要重新進行計算，重新進行調整。所以完美的設置是：
body {font-size:1em;}
可是在那個沒人愛的IE底下，“em”會有一個問題存在。調整字體大小的時候，同樣會打破我們的彈性布局，不過還好，有一個方法可以解決：
html {font-size: 100%;}
公式轉換——PXtoEM
如果你是第一創建彈性布局的，最好在身邊準備一個計算器，因為我們一開始少不了很多的計算，有了他放心。
像素對于我們來說太密切了，因此我們也將從這開始。首先需要計算出1px和em之間的比例，然后是知道我們需要的px值。通過前面的介紹，大家都知道1em總是等于父元素的字體大小，因此我們完全可以通過下面的工式來計算：
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
大家可以參考一下面這張轉換表(body字體為16px時的值)
接下來我們一起看一個很簡單的實例“使用CSS的EM制作一個960px寬度的彈性布局”
HTML Markup
<body>
<div id="container">…</div>
</body>
將960px轉換為em
1 ÷ 16px × 960px = 60em
這個計算值的前提條件是<body>的“font-size:16px”。
CSS Code
html {
font-size: 100%;
}
body {
font-size: 1em;
}
#container {
width: 60em;
}
通過上面的實例，我想大家更能形像化的理解了，因為有例可詢，其實我們可以把上面的計算公式轉換一下，將更方便你的計算：
需要轉換的像素值 ÷ 父元素的font-size = em值
那么我們上面的實例“960px”就可以這樣來轉換成“em”值
960px ÷ 16px = 60em
上面我們一起見證了“px”轉換成“em”的計算方式，接下來我們一起來動看制作上面展示過的彈性布局樣例。下面我們主要一起來一步一步的實現他。
構建一個彈性的容器
要創建彈性布局樣例那樣的居中效果，我們首先需要創建一個HTML結構，我在此給創建一個<div>并且取名叫“wrap”
<body>
<div id="wrap"> content here</div>
</body>
我們希望這個容器是一個“740px”寬，適合一個“800px × 600px”顯屏的實例。那么“740px”會等于多少“em”呢？這就是我們需要關心的問題，大家一起來看吧：
1、將“740px”轉換成“em”設置到我們的容器“div#wrap”：我們都知道“div#wrap”的父元素<body>設置了字體為“16px”，那么此時在沒有進行另外顯示的設置時，他的子元素<div id="wrap">將繼承“font-size”值，這樣我們就可以輕意得到：“1px和1em之間的關系”
1em = 16px 也就是 1px = 1 ÷ 16 = 0.0625em
這樣一來，我們的“740px”就很容易的能轉換成“em” 0.0625em × 740 = 46.25em
當然大家也可以按照我們前面所列出的計算公式來進行轉換，這樣你心中更具有一個概念性，也不容易弄錯：
1 ÷ 16 × 740 = 46.25em (1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值)
這樣一來，您可以使用上面的公式計算出您需要的任何寬度或高度的“em”值，你只需要知道“1px等于多少em”，另外就是你要轉換的“px”值是多少，具備這幾個參數你就能得到你想要的“em”值了。
2、創建CSS樣式：現在我們可以給“div#wrap”寫樣式了，彈性布局樣例很明顯的告訴我們，給“div#wrap”設置了一個寬度為“740px”居中，帶有上下“margin”為“24px”，而且帶有“1px”的邊框效果，那么我們首先根據上面的公式計算出相應的“em值”，然后在寫到CSS樣式中：
html {font-size: 100%;}
body {font-size: 1em;}
#wrap {
width: 46.25em;/*740px ÷ 16 = 46.25em */
margin: 1.5em auto;/*24px ÷ 16 = 1.5em*/
border: 0.0625em solid #ccc;/*1px ÷ 16 = 0.0625em*/
}
現在我們就輕松的創建了一個包含內容的彈性容器：彈性布局樣例。
文本樣式與em
首先我們在前面那個創建的<div id="wrap"></div>中插入一個<h1>和一個<p>:
<div id="wrap">
<h1>...</h1>
<p>...</p>
</div>
在彈性布局樣例實例中，我們標題使用了“18px”，而段落設置的是“12px”字體，同時其行高是“18px”。18px將是我們實現彈性布局的一個重要值，可以使用他們都按正比變化。（有關于標題和段落的排版介紹，大家感興趣可以點擊Richard Rutter的basic leading和vertical rhythm以及chapter on vertical motion的相關介紹）。
根據CSS繼承一說，我們在“div#wrap”的內容容器中沒有顯式的設置字體大小，這樣整個“div#wrap”將繼承了其父元素“body”的字體——“16px”。
1、給段落設置樣式：——“12px”的字體，“18px”的行高以及margin值
從CSS繼承中，我們可以得知我們所有段落繼承了其父元素“div#wrap”的“font-size:16px”。同時我們通過前面的介紹得知1px = 1 ÷ 16 = 0.0625em，這樣一來我們就很輕松的知道“12px”等于多少個“em”
0.0625em × 12 = 0.750em
這樣我們就可以給段落p設置樣式：
p {font-size: 0.75em;/*0.0625em × 12 = 0.750em */}
要計算出段落所需的行高和“margin”為“18px”，來滿足Richard Rutter說的basic leading，那我們就需要像下面的方法和來計算：
18 ÷ 12 = 1.5em
使用所需的行高值“18px”直接除以“字體大小12px”，這樣就得到了段落“p”的“line-height”值。在本例中行高就等于字體的“1.5”倍，接著我們把“line-height”和“margin”樣式加到段落“p”中
p{
font-size: 0.75em;/*0.625em × 12 = 0.750em */
line-height: 1.5em;/*18px(line-height) ÷ 12(font-size) = 1.5em */
margin: 1.5em;/*18px(margin) ÷ 12(font-size) = 1.5em */
}
2、給標題設置一個18px的字號
標題“h1”和段落“p”一樣的原理，他也是繼承他父元素“div#wrap”的“16px”的“font-size”，所以我們也是按同樣的方法可以計處出他的“em”
0.0625em × 18 = 1.125em
我們可以把得出的值寫到CSS樣式表中
h1 {
font-size: 1.125em;/*0.625em × 18 = 1.125em*/
}
同樣為了保留Richard Rutter所說的vertical rhythm，我們同樣將標題“h1”的“line-height”和“margin”都設置為“18px”，使用方法前面介紹的方法。很容易得到他們的“em”值為“1em”:
h1 {
font-size: 1.125em; /*0.625em × 18 = 1.125em*/
line-height: 1em; /*18px(line-height) ÷ 18px(font-size) = 1em */
margin: 1em; /*18px(margin) ÷ 18px(font-size) = 1em */
}
設置圖片大小——使用em
要做出彈性布局樣例這樣的果，我們也需要在html中插入一張圖片：
<body>
<div id="wrap">
<h1>....</h1>
<p><img src="90.png" alt="" /> Lorem...</p>
</div>
</body>
我們這張圖片具有“90px”的寬和高，同時具有一個右邊距和底邊距為“18px”設置，而且還進行左浮動。下面我們就一起來看其如何實現圖片這幾個樣式效果：
從HTML結構中，我們很清楚的知道，圖片是段落“p”的子元素，通過前面的介紹，你們知道這個段落“p”的“font-size”值被得定義為“12px”，因此我們計算圖片的屬性值時，不能在按“1px = 0.0625em”或者“1em=16px”來計算，我們需要使用最老的公式計算：
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
這樣一來，按上面所示的公式，我們就可以計算出圖片的大?。?/p>
1 ÷ 12 × 90 = 7.5em
現在你就可以將計算出來的值寫到樣式中去：
p img {
width: 7.5em; /*1 ÷12( 父元素的font-size) × 90px(圖片的寬度) = 7.5em */
height: 7.5em; /*1 ÷12( 父元素的font-size) × 90px(圖片的高度) = 7.5em */
}
我們在段落中知道了“18px”剛好是“1em”，現在我們也把他使用到圖片的樣式中：
p img {
width: 7.5em; /*1 ÷12( 父元素的font-size) × 90px(圖片的寬度) = 7.5em */
height: 7.5em; /*1 ÷12( 父元素的font-size) × 90px(圖片的高度) = 7.5em */
margin: 0 1.5em 1.5em 0;
float: left;
}
這樣我們就制作出一個和彈性布局樣例一樣的效果。希望通過這樣的一個實例能幫助大家了解如何使用“em”來創建一個彈性布局的方法。當然大家可能還在擔心使用“em”來制作一個彈性布局，不能像“px”一樣的的精確，如果你真正理解了這篇教程后，我想你不會在有這樣的想法。
彈性布局的公式總結
最后我想大家肯定和我會有同一種想法，就是相關參數是的“px”值如何成功而且正確的轉換成“em”值，經過上面的學習，我最后將公式總結一下：
元素自身沒有設置字號大小時，元素的width、height、line-height、margin、padding、border等值轉換都按下面公式轉換：
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
我們來看一個實例：
<body>
<div id="wrapper">test</div>
</body>
我們在body默認字體大小為“16px”,此時需要“div#wrapper”的相關參數值為：
#wrapper {
width: 200px;
height: 100px;
border: 5px solid red;
margin: 15px;
padding: 10px;
line-height: 18px;
}
那么我們按照上面的公式，將所在參數進行轉換：
#wrapper {
width: 12.5em;/*1 ÷ 16 × 200 = 12.5em值*/
height: 6.25em;/*1 ÷ 16 × 100 = 6.25em值*/
border: 0.3125em solid red;/*1 ÷ 16 × 5 = 0.3125em值*/
margin: 0.9375em;/*1 ÷ 16 × 15 = 0.9375em值*/
padding: 0.625em;/*1 ÷ 16 × 10 = 0.625em值*/
line-height: 1.125em;/*1 ÷ 16 × 18 = 1.125em值*/
}
我們一起來看計算出來的值：
接下來我需要大家在來看一個效果，這一點很關鍵喲，仔細看好，在同樣的參數基礎上稍加一條元素本身設置字體大小為：14px；，大家可以會說很簡單的呀，按前面的公式計算出來加上就是了，那么我現在就按大家說的計算加上：
#wrapper {
font-size: 0.875em;/*1 ÷ 16 × 14= 0.875em值*/
width: 12.5em;/*1 ÷ 16 × 200 = 12.5em值*/
height: 6.25em;/*1 ÷ 16 × 100 = 6.25em值*/
border: 0.3125em solid red;/*1 ÷ 16 × 5 = 0.3125em值*/
margin: 0.9375em;/*1 ÷ 16 × 15 = 0.9375em值*/
padding: 0.625em;/*1 ÷ 16 × 10 = 0.625em值*/
line-height: 1.125em;/*1 ÷ 16 × 18 = 1.125em值*/
}
此進我們在firebug下看計算出來的layout值
為了更好的說明問題，我把元素自身沒有設置字體大小和元素自身設置了字體大小，兩者在firebug計算出來值：
我截這個圖的主要意圖是，說明一個問題就是元素自身要是設置了字體大小后，其計算公式就不在是前面所說的，我們需要做一下修改：
1、字體計算公式依舊
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
2、其它屬性的計算公式需要換成
1 ÷ 元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
那么我們現在來計算一回：
#wrapper {
font-size: 0.875em;/*1 ÷ 16 × 14= 0.875em值*/
width: 14.2857em;/*1 ÷ 14 × 200 = 14.2857em值*/
height: 7.1429em;/*1 ÷ 14 × 100 = 7.1429em值*/
border: 0.357em solid red;/*1 ÷ 14 × 5 = 0.357em值*/
margin: 1.071em;/*1 ÷ 14 × 15 = 1.071em值*/
padding: 0.714em;/*1 ÷ 14 × 10 = 0.714em值*/
line-height: 1.2857em;/*1 ÷ 14 × 18 = 1.2857em值*/
}
我們在來看一次計算出來的值：
總結
長篇介紹了一大堆，唯一想告訴大家的是以下幾點
1、瀏覽器的默認字體大小是16px
2、如果元素自身沒有設置字體大小，那么元素自身上的所有屬性值如“boder、width、height、padding、margin、line-height”等值，我們都可以按下面的公式來計算
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
3、這一種千萬要慢慢理解，不然很容易與第二點混了。如果元素設置了字體大小，那么字體大小的轉換依舊按第二條公式計算，也就是下面的：
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
那么元素設置了字體大小，此元素的其他屬性，如“border、width、height、padding、margin、line-height”計算就需要按照下面的公式來計算：
1 ÷ 元素自身的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
這樣說，不知道大家理解了整明白了沒有，如果沒有整明白，可以回過頭來看上面的一個實例。轉自：http://www.uml.org.cn/html/201207311.asp
智元專欄
人工智能很火，人工智能大神很火。大神們的神器是什么？有人說找到了，就是EM算法。 請看這篇：
但是最近網上引人關注的另一傳聞是，一位人工智能論文獲獎者在獲獎感言中說深度學習方法是煉金術，從而引起大神家族成員反駁。報道見：NIPS機器學習煉金術之爭
看到上面兩篇，使我想到：EM算法是煉金術嗎？
我近兩年碰巧在研究用以改進EM算法的新算法：http://survivor99.com/lcg/CM/Recent.html，對EM算法存在的問題比較清楚。我的初步結論是：EM算法雖然在理論上有問題，但是確實煉出金子了。反過來也可以說，雖然EM算法練出金子了，但是收斂很不可靠，流行的解釋EM算法的收斂理由更是似是而非。有人使之神秘化，使得它是有煉金術之嫌。論據何在？下面我首先以混合模型為例，簡單介紹EM算法，并證明流行的EM算法收斂證明是錯的(沒說算法是錯的)。
假設n個高斯分布函數是：
P(X|θj)=Kexp[-(X-cj)2/(2dj2)]，j=1，2，…，n
其中K是系數，cj是中心，dj是標準差。假設一個數據分布P(X)是兩個高斯分布的混合
P(X)=P*(y1)P(X|θ*1)+P(y2)P(X|θ*2)
其中P*(y1)，P*(y2)是真的混合比例，θ*1和θ*2表示真的模型參數。我們只知道模型是高斯分布且n=2。現在我們猜測5個參數P(y1)，c1，c2，d1，d2。不是6個參數，是因為p(y2)=1-P(y1)。根據猜測得到的分布是
Q(X)=P(y1)P(X|θ1)+P(y2)P(X|θ2)
如果Q(X)非常接近P(X)，相對熵或 Kullback-leibler 距離
H(Q||P)=∑iP(xi)log[P(xi)/P(xi|θ)]
就接近0，比如小于0.001比特，那么就算我們猜對了。參看下圖：
混合模型問題之所以重要，是因為它是限制分布類型而不是分布范圍的模糊聚類，是無監督學習的一個典型。
EM算法起源于這篇文章：Dempster, A.P., Laird, N.M., Rubin,D. B.: Maximum Likelihood from Incomplete Datavia the EM Algorithm. Journal of the Royal Statistical Society, Series B39, 1–38(1977)。通過這個網站http://www.sciencedirect.com/搜索可見，光是標題有EM算法的英文文章就有6.8萬篇(有似然度的文章將近76萬篇)，可見研究和應用EM算法的人何其多。
Wiki百科上的EM算法介紹見這里：
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation%E2%80%93maximization_algorithm
一篇中文介紹見這里：
http://www.cnblogs.com/mindpuzzle/archive/2013/04/05/2998746.html
EM算法的基本思想是：
目的是改變預測模型參數求似然度logP(XN|θ)或logP(X|θ)達最大（N表示有N個樣本點，黑體X表示矢量），樣本和θ之間的似然度就是負的預測熵（或交叉熵，廣義熵的一種）：
Hθ’(X)=∑iP(xi)logP(xi|θ)
其中P(xi|θ)就是上面的曲線Q(X)上的一個點（X是變量，xi是常量），即P(xi|θ)=Q(xi)。我們用X的概率分布P(X)取代X序列。則EM算法的基本公式如下(下面y就是wiki百科中的z)：
其中θt表示M步優化前的θ。這里的Q和上面的Q(X)中的Q含義不同，下面我們用Q(.)表示這里的Q(θ|θt)。
從語義信息論(http://survivor99.com/lcg/books/GIT/)看，我們可以得到
[Q(θ|θt)-H]/N=Hθ’(X，Y)-Hθ’(Y|X)=-Hθ(X，Y)+Hθ(Y|X)
右邊是兩個負的廣義熵或負的交叉熵，和參數有關。為了討論方便，后面忽略左邊的N。
EM算法分兩步：
E-step：寫出預測的yj的條件概率
M-step：最大化Q(θ|θt)，也就是最大化負的聯合熵Hθ’(X，Y)，或最小化聯合交叉熵Hθ(X，Y)。
為什么這樣能收斂呢？wiki百科這樣說：
Expectation-maximization works to improve Q(θ|θt) rather than directly improving log(X|θ). Here is shown that improvements to the former imply improvements to the latter.[13]
這就是說，只要Q(.)達最大，log(X|θ)就達到最大。
2）M-step可以增大Q(.)，E-step也不減少Q(.)，所以反復迭代就能收斂。
這篇證明文章比較出名：Wu, C.F.J.: On the Convergence Properties of the EM Algorithm. Annals of Statistics11, 95–10(1983)。
這等于說，真模型在山頂上，爬山人每一步只上不下就能到達山頂。M步只上，E步不下，所以能到達山頂。
但是，使用EM算法時，往往在預測分布P(X|θ)和實際分布P(X)不重合就停下來了。流行的解釋是：那叫局部收斂（其實就是收錯了地方）；因為大山周圍有一些小山，出發點不對就上到小山頂上了。所以起始點很重要。于是有人專門研究如何通過測試找到較好的出發點，比如隨機選多點測試看哪個好。
EM有時雖然能收斂，但是常常收斂很慢。為了提高速度，于是又有很多人提出很多改進辦法。其中比較出名的一個就是上面《九層境界》中提到的VBEM算法(詳見Neal, R.，Hinton, G.: A view of the EM algorithm that justifies incremental, sparse, and other variants. in: Michael I. Jordan(ed.) Learning in Graphical Models，pp355–368. MITPress，Cambridge，MA(1999))，就是用
F(θ，q)=Q(θ|θt)+H(Y)
取代Q(θ|θt)(上面忽略了系數N)，不斷最大化F(θ，q)(q=P(Y))。在M步最大化F(.)，在E步也最大化F(.)。據說這樣收斂更快。但是VBEM的收斂證明是不是一樣有問題呢？我的結論是：算法好一些，但是收斂證明問題還是存在。
首先我們看EM算法(包括VBEM算法）的收斂證明錯在哪里。
在Shannon信息論中有公式：
H(X，Y)=H(X)+H(Y|X)
由于引進似然函數，Shannon熵變成預測熵或交叉熵，但是基本關系還是成立
Hθ(X，Y)=Hθ(X)+Hθ(Y|X)=-logP(X|θ)+Hθ(Y|X)
寫成負熵的形式是：
H’θ(X，Y)=logP(X|θ)+H’θ(Y|X)
后面這一項Hθ(Y|X)和Y的熵有關，P(y1)=P(y2)=0.5的時候H(Y)最大，負熵就最小，H’θ(Y|X)也比較小。如果真的比例P*(Y)是接近等概率的，起步時P(y1)=0.1，P(y2)=0.9，Y的負熵較大，我們不斷最大化H’θ(X，Y)，就會阻止P(Y)向真比例P*(Y)靠近。這是EM算法收斂慢甚至不收斂的一個原因。這也是為什么VBEM方法要用F(.)取代Q(.)。上式兩邊加上H(Y)以后就有
H’θ(X，Y)+H(Y)=logP(X|θ)+H’θ(Y|X)+H(Y)
H(Y)-Hθ(X，Y)=-Hθ(X)+H(Y)-Hθ(Y|X)
近似得到(后面解釋近似)：
-Hθ(X|Y)=-Hθ(X)+Iθ(X;Y)
也就是
F(θ，q)=-Hθ(X|Y)=-Hθ(X)+Iθ(X;Y)(3)
可見，F(θ，q)就是負的后驗熵。兩邊加上P(X)，左邊就是預測互信息或語義互信息(我早在1993年的《廣義信息論》一書中就提出)：
F(θ，q)+H(X)=H(X)-Hθ(X|Y)=I(X;?)(4)
從上面兩個公式可以得到
H(Q||P)=H(X|θ)-H(X)=Iθ(X;Y)-I(X;?)(5)
我們可以粗略理解，相對熵=Shannon互信息-預測互信息。后面我們將介紹這個公式的更加嚴格形式。
因為H(X)和模型無關，最大化F(.)就是最大化預測互信息，避免誤改P(Y)。這樣就好理解為什么VBEM比EM好。
但是，F(θ，q)最大化和logP(X|θ)最大化是否總是一致的？結論是否定的。證明很簡單：
假設有一個真模型θ*和子模型比例P*(Y)，它們產生P(X)。同時相應的Shannon聯合熵是H*(X，Y)，X的后驗熵是H*(X|Y)，互信息是I*(X;Y)。那么改變X和Y的概率分布，上面三個量都會變。
我們猜測的時候，如果聯合概率分布P(Y，X|θ)比P*(X，Y)更加集中，負熵log(X，Y|θ)=H’θ(X，Y)就會大于真模型的負熵-H*(X，Y)，繼續增大H’θ(X，Y)就會南轅北轍。
比如，下圖例子中，第一輪優化參數前就可能有H’θ(X，Y)>-H*(X，Y)。它對于EM算法收斂證明來說就是反例。圖中R=I(X;Y)，R*=I*(X;Y)。其中真實的Q*(.)和互信息I*(X;Y)比較小。
這個例子中迭代用的是信道匹配算法，和VBEM算法比，主要差別是，在E步把繼續增大F(.)改為調整P(Y)。其中紅線就是EM算法中Q(θ|θt)的變化軌跡，第一個E步之后，Q(.)就大于真模型的Q*(.)。如果起始參數是隨機的，那么它可能導致Q(.)出現在紅線的任何位置，從而大于Q*(.)。
F(.)有類似情況，它和預測互信息(圖示是G)走勢完全一致，在每個E步是下降的。原來影響交叉熵有三個因素：
1)預測的分布和樣本的分布是否符合，如果更符合，負熵Q(.)和F(.)就更大；
2)X和Y的分布是否集中，如果更集中負熵就更大；
3)X和Y是否相關，如果更相關負熵就更大。
流行的收斂證明只考慮了第一條。
到此有人會問，如果終點不在山頂上，起點很可能高于終點，那么為什么EM算法在大多數情況下是收斂的？
回答是：EM算法收斂證明中第二條，Q(.)只增不減也錯了！原來在E步，Q(.)和F(.)是可能減小的！一般情況下都會使Q(.)向真模型的Q*=-H*(X，Y)靠攏，使F(.)向-H*(X|Y)靠攏。如果調整P(Y)，收斂就更加可靠，EM算法就變為CM算法。
下面提供CM算法的粗略數學證明。
先看為什么需要調整P(Y)。在E步的公式(2)(計算Shannon信道的公式)中，P(yj|X)和P(X)及四個參數可能不匹配，導致
那樣，上面計算出的Shannon信道就是一個不稱職的Shannon信道。調整方法很簡單，就是不斷用左邊的P+1(yj)代替右邊的P(yj)，直到兩者相等。
下面介紹用信道匹配算法(CM算法)用到的公式：
上面第一行公式就是公式(5)的更加嚴格形式。其中用到子模型θj，P(X|θj) 就等于前面方法中的P(X|yj，θ)。RQ就近似于前面方法中Iθ(X;Y)。為什么說近似呢，因為這里用到Y的廣義熵或交叉熵H(Y+1)=-∑jP+1(yj)logP(yj) 和相對熵H(Y+1||Y)。聯合熵減去這個熵才是預測后驗熵。而在VBEM方法中，增加的H(Y)是Shannon熵。
有了上面公式(6)，我們就可以采用下面三步減小相對熵H(Q||P)——保證每一步都是減小的：
I：寫出Shannon信道表達式，等于EM算法中的E步;
II：調整P(Y)，使得P(Y+1)=P(Y);如果H(Q||P)<0.001，結束。
III:改變參數最大化語義互信息G。轉到I。
詳細討論見這里：http://survivor99.com/lcg/CM.html
如果EM算法在M步先調整P(Y)，固定P(Y)再優化參數，EM算法就和CM算法相同。如果在VBEM算法中添加的H(Y)改為交叉熵，E步調整P(Y)而不是最大化F(.)，VBEM算法就和CM算法相同。
從語義互信息公式看
迭代就是輪流改變log左邊(I和II)和右邊(III)。改變右邊是語義信道匹配Shannon信道，改變左邊是Shannon信道匹配語義信道。所以該算法叫信道匹配(Channels’Matching)算法或CM算法(保留EM中的M)。我們也可以說CM算法是EM算法的改進版本。但是基本思想是不同的。CM算法也沒用到Jensen不等式。
為什么CM算法會使Q(X)會收斂到P(X)呢？相對熵會不會表現為很多山洼，有高有低，我們不巧，落到一個較高的山洼里呢？
這要從Shannon的信息率失真理論談起。Shannon在1948年發表經典文章《通信的數學理論之》，11年之后，他提出信息率失真函數R(D)——就是給定平均損失上限D求互信息I(X;Y)最小值R(D)。我在1993年的《廣義信息論》中把它改造為R(G)函數。G是廣義互信息或語義互信息(也就是平均log標準似然度)的下限。R(G)是給定G時的Shannon互信息I(X;Y)的最小值?？梢宰C明，所有R(G)函數都是碗狀的。R(D)函數像是半個碗，也是凹的。證明G是碗狀的很簡單，因為R(D)函數處處是凹的(已有結論)，R(G)函數是它的自然擴展，也是處處是凹的。
進一步結論：R(G)-G也是處處是凹的。所以山洼只有一個。求相對熵最小，就是求R(G)-G最小，就是找R=G的點，也就是上圖中45度斜線和碗狀曲線相切的點。
像E步那樣，用公式(2)求Shannon信道，并調整P(Y)，就能得到R(G)。原來求信息率失真函數也用到迭代算法，也用到和公式(2)類似的公式。EM和VBEM算法之所以慢，除了因為沒有調整P(Y)，還和指導思想有關。因為認為增大負熵就能達到目的，所以設置初始參數時就想把負熵弄得小一點，比如把兩個標準差d1和d2設得大一點，防止漏掉真模型。但是在計算試驗中我發現，有時候選擇較小的偏差，收斂反而更快。從文獻數字和我的計算實驗看，CM算法迭代5次收斂比較常見，而EM算法(包括改進的)達到收斂的迭代次數大多超過10次。
誠然，CM算法也不是完美無缺的。在少數極端情況下(比如兩個分布重疊較多，兩個分量比例相差較大時)，初始值選擇不當收斂也很慢。結合已有的EM算法研究中關于初始參數的研究成果，應該還能改進。
我上面只是證明了流行的EM算法收斂證明是錯的，是否還有其他對的證明？我不能肯定。北大的馬盡文教授是EM算法專家，做過很多推廣和應用。他說有，我很期待。我以為如果有，可能和我的證明異途同歸。我和VBEM的第一作者Neal教授通過信，他說要是E步減小Q(.)或F(.)，那就太震動了?？磥硭恢毕嘈帕餍械呢撿刂辉霾粶p證明。
現在回到“煉金術”話題。
實際上，把深度學習和煉金術聯系起來的AliRahimi教授演講標題是：
《從“煉金術”到“電力”的機器學習》，他并沒有否定深度學習，只是說要加強理論研究，也不排除先有實踐再有理論。
根據上面分析，可以說EM算法正在從“煉金術”向“冶金術”過渡。如過它在理論上停滯不前，如果我們把它神話，它就真像是煉金術了。反之，正視已有問題，尋找更簡潔更有說服力理論，才能使“煉金術”成為可靠“冶金”工具。
作者簡介：
魯晨光，男，南京航空航天大學畢業(77級). 當過長沙市青年學術帶頭人，赴加拿訪問學者，北師大數學系訪問學者（汪培莊教授指導）…研究興趣是：語義信息論，統計學習，色覺的數學和哲學, 美學和進化論，投資組合。專著有：《廣義信息論》，《投資組合的熵理論和信息價值》，《色覺奧妙和哲學基本問題》，《美感奧妙和需求進化》。于《光學學報》,《機器人》，《通信學報》,《現代哲學》,《Int. J. of General System》等雜志上發表論文多篇。最近主要工作是把語義信息論用到統計學習，用以解決最大似然估計，貝葉斯推理， 多標簽分類， 混合模型等問題。個人網站：http://survivor99.com/lcg/ 信箱：lcguang@foxmail.com。
前端開發中，單位的使用，有很多種，em、px等，本文主要講解em。不過在做對比之前，我們還是先了解em的一些基礎知識,
1、 瀏覽器的字體的默認大小是16px
2、如果元素設置字體大小（有，有，有設了字體大小……）
1 ÷ 父元素的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
3、如果元素沒有設計字體大小（沒有，沒有，沒有設了字體大小……）
1 ÷ 元素自身的font-size × 需要轉換的像素值 = em值
寫下如下的代碼：
初始顯示效果
加一段css代碼
從代碼中我可以看，
1、p1沒設置字體大小，p1的父級是瀏覽器的<html>，p1字體顯示為16px； border的em值為1，寬度就為16px
2、p2設置了字體大小為20px，自然而然顯示20px；border的em值為1，顯示的寬度為20px；
3、p3給設置了一個字體大小為2em；p3_1的em就是相對于p3，p3_1的字體大小32px；border的em值為1，顯示的寬度為32px；
進行對比可以得出以下結論：
一、從1和2對比可以看出，瀏覽器的默認字體大小是16px，em的是相對了父級的
二、從2和3看出，不管是設置em、還是設置像素px。都代表是：設置了字體大小
三、從1、2、3可以看出，元素width，height，border-weight等屬性的em，相對元素自身字體的大小而言而言
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