數學中最優雅的歐拉公式-更好的解釋（數學篇）11

文: https://betterexplained.com
譯文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29565.html

歐拉公式

歐拉公式看起來完全讓人摸不著頭腦：

e^ix ＝cos(x)+isin(x)

這就是說：

e^iπ=cos(π)+isin(π)=-1+i(0)=-1

這個結果是如此的不真實，所以我打算再把它重寫一次：

e^iπ ＝－1

這個方程式把虛指數與正余弦函數聯系起來。它是怎么把一個像 π 這樣的無限不循環小數這么簡單的就變為 -1 了呢？這能有一個直觀化的解釋嗎？這里不得不提到19世紀的數學家 Benjamin Peirce：

“這絕對是個悖論；我們不可能理解它，我們甚至都不知道它是什么意思，但是我們既然證明了它，那么我們就知道它是真的。”

這種態度讓我大為火光。我們應該直接舉手投降，然后死記硬背嗎？不！

歐拉公式描述了沿著圓運動的兩種方式。僅僅是這樣嗎？最有魅力的公式之一就是轉圈圈？沒錯——今天我們就來看看這是為什么。

11.1 理解cos(x)+isin(x)

方程式符號承載的東西太多了。有時候它只是表示“把一個東西變為另一個東西”（比如說 x＝3）而已。而另一些時候它只是表示“描述同一事物的兩種不同方法”（比如說根號負一等于i）而已。歐拉公式就是在描述兩種描述統一現象的等價方法：轉圈圈。為了達到我們的目的，假設你前進了 x 弧度：

cos(x) 就是x軸的坐標（水平距離）
sin(y) 就是y軸的坐標（豎直距離）

cos(x)+isin(x) 是一種很聰明的辦法，它把兩個坐標整合到了一個復數中。“復數有兩個維度”的類比幫助我們很好的把這些即使作了二維平面上的一個點。記得我們在第一章給圓下的定義嗎？現在我們來加入一些新的東西。當我們寫下 x＝π（在這個例子中表示讓 x 的指為 π ）時，就是說我們沿著單位圓運動。

因為圓周長是 2π，所以我們走了一半的距離。從 1 開始前進 π 弧度，我們的起始點在單位圓上，終點就是 -1。沒有虛部（y軸坐標），因為 -1 就在實數軸上。如果我們是令 x＝-π，沿順時針方向前進的話，我們得到相同的結果：-1。很酷吧。所以歐拉公式就是說 eix 跟(cos(x)+isin(x))表示相同的沿著單位圓進行的運動過程。現在我們來看看 e 是怎么做到這一點的。

11.3 把增長旋轉一下

通常的增長就是推動一個數字沿著一個固定的方向前進：2×3就是把2沿著原始方向，把它推到3倍大（6）。

但是一個虛數倍的增長會把你的“增長”旋轉90度到虛軸上！簡單來說就是一個與原來方向正交的推動并不會讓你的增長速度變快或變慢——它是要把你旋轉一下！任何實數乘以 i 并不改變大小，只會改變方向。直觀的來看，當我們在討論虛增長時，實際上就是在說：

虛增長：當我增長的時候，不要把我推向前或向后，而是要旋轉我。一個常數旋轉并不會改變你的大小——你只是會轉圈圈而已。

11.4 但是我們不是應該越轉越快嗎？

不是的。我來跟你解釋一下：常規的增長讓你在原來方向上前進或后退。所以你從1開始，到2，4，8，16，你每次都是乘以一個2，然后你依然是個實數。但是純粹的虛增長只是讓你旋轉。讓我們假定你在 i 方向的增長率是100%：你保持一個恒定的推動，所以最后的效果也就是旋轉而已。 1 秒之后你在90度方向（i），2秒后，你在180度方向（i2 ＝-1），這樣不斷進行。虛增長不進行復合！如果你的增長率是一個較大的虛數（2i），你可以認為這個增長需要兩倍長的時間（還記得e把時間與增長率合并到一起嗎？）。但是它還是在一個垂直的方向進行推動，而這不會改變你的速度。現在，如果你的增長率是個復數（a+bi），那么實數部分就跟常規增長一樣表示你是增長還是縮少，而虛數部分表示將把你旋轉。但是歐拉公式（正如它的形式一樣）是關于純粹的虛增長（e^ix）的。我們接下來的討論會更復雜一些。

11.5 追根溯源

讓我們湊近點看看。回憶一下關于e的這個定義：

1/n表示在我們的周期內賺到的利潤。我們假設利潤是實的——但是如果它是虛的呢？

現在我們的利潤被推向了90度方向，但是這不影響我們的長度。（這是一個比較難理解的概念，因為這就像我們在一個比較長的斜邊下構造一個三角形。我們在處理一個極限；斜邊有一個在我們誤差范圍內難以發現的增加。我們需要微積分來幫我們弄清楚，但是這個還是改日再談吧）。

我們每次把 i 單位的增長應用到無窮小量上。每一次應用都是輕輕把它推向90度方向。沒有所謂的“越來越快”的旋轉，因為它與增長方向始終保持垂直，它只是推向一個新的方向而已（+1角度而已）。所以我們發現了另一種表示圓的方法！

圓周運動：始終沿著90度的方向進行旋轉（虛增長率）

那么，歐拉公示就是在說“指數的虛增長最后就是一個圓的軌跡”。而這個軌跡跟用正余弦函數表示的虛數畫出來的軌跡一樣。在這里用“指數”可能有些不恰當，因為我們沿著一個圓始終做著勻速運動（最好還是稱為“連續改變”）。但是我們現在主要面對的是增長就是一個復合的，累積的增長。

11.6 一些例子

你現在可能不相信我。以下是一些幫助你直觀化思考的示例。

示例：e^i

也就是 e^(i.1) , 即 x=1 的情況. 直觀的來看，不需要用計算器我們就知道這是在說“沿著單位圓前進1弧度”：

e^i ＝cos(1)+isin(1)=0.5403+0.8415i

結果不是一個簡潔的數字，但對計算器而言沒有問題。輸入這些的時候記得把你的計算器調到弧度模式。

示例：3^i

這就需要一些技巧了——這不是我們通常見到的形式。但是記住，

——真正的問題就是“我們怎么把1做變換”呢？我們希望有一個最后增長率為3倍或者說即時增長率為ln(3)的增長，但是，下面變形利用 e 變成了：

我們本來以為我們只是轉換一個ln(3)就夠了（ln(3)≈1.09861...，所以這個比100%要快一些）。但是，哦，i 讓我們團團轉：現在我們把它轉換成了虛增長，這就意味著我們在旋轉。如果 i 是一個常規數字比如說是4，我們就會得到一個4倍快的增長, 而現在我們的增長速度是 ln(3)。我們應該能夠想到一個單位圓上的復數——不會改變我們的大小。解這個方程：

示例：i^i

在之前見到這個家伙會直接把我嚇跑，并且眼中還包含著挫敗的淚水。但是現在我們可以把它做一些變換：i^i ＝1·i^i 。我們從1開始變化。就像解決3i 那樣，以 i 為底時現在的即時增長率是多少呢？呃，通常我們會用ln(x)來得到在最終達到x的即時增長率。但是對于虛增長率？我們需要做些改變。為了從 1 變到 i，我們需要旋轉。轉多塊呢？好吧，我們需要在一單位時間內轉過90度角(π/2弧度)。所以我們的增長率就是(π/2)·i（記住我們是要旋轉所以必須乘以一個虛增長率）。

這樣就可以說得通了：在一單位時間內，把1變到 i，我們應該旋轉 π/2 弧度（90度角）。這個解釋了底，但是對于指數呢？它告訴我們改變增長率要以 π·i/2的速度進行旋轉, 計算得：

i 被消去了，增長率又變為了實數！我們把增長率轉到了一個負值。這意味著我們在減小——我們應該能夠想到 i^i 就是讓事物變小。

事實確實如此（在Google中搜索“i^i”來利用它的計算功能）先喘口氣：你應該可以直觀化的了解到，虛數底與虛指數的行為是怎樣的。

示例：（i^i)^i

想要更深一步的示例？如果你堅持的話，首先我們知道括號內的增長率等于多少：

我們得到了一個Pi/2的負增長（縮小）。現在我們用i來修改一下它：

我們得到了一個負旋轉！我們每單位時間將要以 π/2 的速度進行旋轉。轉多長時間呢？其中暗示了1個單位時間；一個單位時間的旋轉就是-i：

i^i=0.2078……

(i^i)=-i

而且，看看整個過程，如果我們給它平方一下的話：

((i^i)^i )2=-1

這就好比是兩倍的旋轉：2是一個實數，所以它讓我們的旋轉翻倍到-180度。或者也可說它做了兩次-90度的旋轉。最后得瑟一下，它們確實都是些奇怪的指數，但是通過類比我們可以很輕松的把它們搞定。

11.7 混合增長

我們可以既有實數增長也有虛數增長：實數增長改變大小，虛數增長進行旋轉：

一個復數增長率（a+bi）就是混合了實數增長與虛數增長。實數部分就表示“每秒增長100%”而虛數增長就是“旋轉b秒”。記住，虛數并不能把不同的方向進行復合，所以它只是線性相加。根據這個想法，我們可以把任何點用不同大小的圓（a+bi）表示出來！半徑就是ea 而角度由eib 決定。這就像把數字放到“創世界”中兩次：一次你讓它的大小發生變化（一秒），另一次就是讓它的角度旋轉（b秒）。或者你可以先旋轉再增長！我們想知道得到6+8i的最終倍數所需要的增長數。這就是在問一個復數的自然對數：我們如何把e變為6+8i？

半徑：我們需要一個多大的圓？大小是√(62+82)=10.這就意味著需要花ln(10)=2.3秒的時間來達到這個數值

旋轉的角度：那個點的角度是多少？我們可以使用反三角函數來計算：arc tan(8/6)=53度＝0.93弧度。

組合結果：ln(6+8i)=2.3+0.93i

11.8 為什么真很有用？

最起碼的，歐拉公式給了我們一個另一種方法來描述沿著圓的運動。當然我們也可以用正余弦函數來表示——為什么如此特別呢？這只是角度不同而已。正余弦函數運動就是在水平坐標和垂直坐標中運動的點而已。

歐拉公式使用極坐標——你的角度與距離多少？再一次的，這是兩種描述運動的方法而已：

笛卡爾坐標：向東3個單位，向北4個單位

極坐標：在71.56角度方向上移動5個單位

這取決于是哪種問題，才能那個決定極坐標還是笛卡爾坐標哪個更有用。歐拉公式可以讓我隨意的進行轉換。同樣的 eix 轉化為正余弦函數，我們可歐拉公式被認為是數學中最優雅的公示之一——而且確實可以理解其中的奧妙。(完)

PC端進行網頁制作時，經常使用固定像素并且內容居中的網頁布局，為了適應小屏幕的設備，在移動設備和跨平臺(響應式)網頁開發過程中，多數使用流式布局，下面我們就對流式布局進行詳細介紹。

流式布局是一種等比例縮放布局方式，在CSS代碼中使用百分比來設置寬度，也稱百分比自適應的布局。流式布局實現方法是將CSS固定像素寬度換算為百分比寬度。換算公式如下: 目標元素寬度/父盒子寬度=百分數寬度下面通過一個案例來演示固定布局如何轉換為百分比布局，如demo4-1.html 所示。

<!DOCTYPE html>
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	<meta charset="UTF-8">
	<title>固定布局轉換為百分比布局</title>
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				margin-top:10px;
				border:1px solid #000; padding:5px;}
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	</style>

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	<aside>aside</aside>
	<article>article</article>
</section>
<footer> footer</footer>
</body>
</html>

打開Chrome瀏覽器訪問demo4-1.html，頁面效果如下圖所示。

可以嘗試改變瀏覽器窗口的大小，頁面元素的大小不會隨瀏覽器窗口改變，如下圖所示。

下面修改demo4-1樣式代碼，將所有寬度修改為百分比的形式，具體如下:

	<style type="text/css">
		body>*{ width:95%; height:auto; margin:0 auto; margin-top:10px;
               border:1px solid #000; padding :5px; }
		header{ height:50px; }
		section{ height: 300px; }
		footer{ height:30px;}
		section>*{ height:100%; border:1px solid #000; float:left; }
		aside{ width:25.510204%; /*250÷980*/}
		article{ width: 71.428571%; /*700÷980*/margin-left:1.0204088%;}
	</style>

刷新頁面，縮小瀏覽器，頁面按百分比隨瀏覽器逐漸縮小，顯示完整，頁面效果如下圖所示：

夜11點，鏟屎的都在干嘛？

是在熬夜擼貓，貪玩游戲，靜心夜讀，還是已安穩沉睡夢中…又或許在網絡世界的一個小角落，

一群熱血貓奴的小心心，正又一次被“求助獻血”所牽動。

貓研所社群截圖

這樣的事情或許每天都在貓寵世界里發生，每到此時，很多家長都會有一個相同的疑問：

為什么貓咪血庫建立如此不易？

我們先來看看輸血產品都有哪些分類?

新鮮血液由于新鮮血液中紅細胞的存活壽命十分短，通常PRBC在冷藏條件的保存也僅為四周。而對于冷凍血液來說，又因為（貓的體型小，獻血量也隨之減小）獻血量較少，使成分分離的復雜程度變高、成本也隨之提升。

采血收集難+紅細胞壽命短+不易分離保存，造成貓咪血庫的建立難度遠比汪星人、兩腳獸的高得多，這就是為什么貓咪血庫不易建立的原因。

此外，血液存放時間越長，受血者血管損傷風險越高？

針對汪星人的輸血的研究中發現接受儲存大于21天的血液與接受小于21天的血液相比，組織氧飽和度降低；儲存時間長的血液可能影響外周血液系統和供氧…且在針對人類的研究中也有相關對預后負面影響的結論。但具體血液儲存時間與發病率和死亡率之間的關系仍無明確定論。

目前越來越多的研究和指南提出，新鮮全血的輸血應盡可能在短時間內完成，特別是危重病人，建議使用儲存小于14天的血液制品。

圖自bluecross.org.uk

緊急缺血時，真的有備選方案么？

Q1異型輸血有可行性么？

我們老課件提過，喵星人天生自帶抗異型血的抗體，所以即使是第一次的緊急輸血，也不能像汪星人一樣不做配血試驗混血型輸血（天然抗體僅有DEA3/5/7·）。B型血貓有很高的抗A抗體，因此即便輸入很小量（1ml）的A型血，也會造成急性、嚴重的溶血反應。

▌ 那么把B型血輸給A型血的貓呢？

首先，紅細胞的存活只有短短幾天；其次，所謂的“輸血反應輕微”也可能出現不同程度的精神萎靡、心動過速、呼吸急促…且通常在異型輸血幾分鐘之內就會發生！

▌ 那AB型血呢？

理論上，AB型血的貓在第一次（劃重點）輸血時可以接受任何的血型，但緊急情況下，若沒有AB型血，也更推薦A型血而非B型血。至于輸血量是否與同血型輸血一致，目前沒有“成文”的可參考資料。

Q2異種輸血是玄學么？

巴黎大學圖書館記載1967年人/狗輸血案例

20世紀60年代開始，就陸續有許多將汪星人血液輸給喵星人的研究報告。研究發現，喵星人在泉水出生時，并沒有攜帶對汪星人紅細胞抗原的抗體天賦加點，但在首次（劃重點）輸血后的4-7天抗體就會逐漸產生（2013年的研究報道，在首次輸狗血的6天后再次使用狗血輸血，引起過敏反應的致死率高達66%），且汪星人紅細胞在喵主子體內的存活天數不到4天。所以真的沒有選擇的緊急情況下，理論上確實可以考慮向汪星天使借用一次，以爭取時間的。

目前已有的犬輸血給貓的實驗情況匯總

此外，有一種（人造血）以牛血紅蛋白為基體的超濃縮聚合氧載體（OPK Biopure），屬于異種輸血中的老大哥了。雖然持效時間短暫（95%循環會在5-9天內消失），但確實能有效幫助低血壓貓增加攜氧能力（目前主要還是多用于汪，患有心臟疾病的貓有循環超負荷的危險）。

人造血產品圖自petportal.jp

找到同型血液，就能瘋狂“輸”出么？當然不是！

▌對于輸血貓而言：

急救輸血通常的目標PCV（血液中紅細胞所占容積，儀器可直接檢測讀數）為20%，以防容量過載。一些簡單的公式可以預估急救輸血量，它可不是一個“無底洞”：

方法一：2ml全血/kg 可增加1% PCV值

方法二：全血體積=2 X 預期增加 PCV(％) X體重(kg)

▌對于獻血貓而言呢：

首先要明確，獻血不是沒有風險的，但通過提前心超排查一些心臟疾病，可以有效避免低血壓帶來的心衰。其次，獻血量是有嚴格控制的，詳情請戳→微科普：貓咪的輸血與獻血！

下課醒醒劃重點，你可不能再忽視了

1. 健康的貓才能獻血：

控制獻血量的情況下，獻血本身不會對健康貓咪造成任何不良影響。所謂的獻血“風險”是針對那些有健康問題（多為心臟問題）的貓咪而言的。所以其實不管是不是為了獻血，都呼吁家長堅持定期體檢！即便做不到，獻血前也建議做個心超排查啊。

圖自 canadapetultrasound.com

2. 提早查血型：

兩腳獸在出生時就要查驗血型了，所以我們在聊福運、財運、桃花運時，能輕易說出自己的血型。然而有的主子可能在重癥監護的病床上時，才會被一群著急忙慌的魚唇兩腳獸抽血驗血喊求助…“早知今日，何必當初”都是這么來的。

3. 交叉配血實驗：

同為A型血輸給A型血，也是可能發生輸血反應的！其中罪魁禍首之一就是Mik抗原！此外，還有引起“較溫和”不良反應的白細胞、血小板等…所以為了主子健康，交叉配血不僅要做，最好每超過4天的輸血都要重新再做。

交叉配血實驗

盡管建立喵主子血庫的道路十分艱辛，但國外卻已有得到認證的正規（劃重點）機構在這條“通往成功的不歸路”上摸爬滾打，并茁壯成長。甚至有些機構還推出了地區范圍內快遞急救血液的服務，在過去幾十年拯救了很多的小生命。

隨著技術的不斷研發推進、獻血小英雄們身心健康的保障、輸血獻血的規范…相信不久的將來，我們的血庫也會成功建立。

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下課！

參考文獻：

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[4] 米國の動物用人工血液[ED/OL].http://www.petportal.jp/mt/archives/000048.html

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