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          Javascript Math 對象

          ath 對象

          Math是 JavaScript 的原生對象,提供各種數學功能。該對象不是構造函數,不能生成實例,所有的屬性和方法都必須在Math對象上調用。

          靜態屬性

          Math對象的靜態屬性,提供以下一些數學常數。

          Math.E:常數e。

          Math.LN2:2 的自然對數。

          Math.LN10:10 的自然對數。

          Math.LOG2E:以 2 為底的e的對數。

          Math.LOG10E:以 10 為底的e的對數。

          Math.PI:常數π。

          Math.SQRT1_2:0.5 的平方根。

          Math.SQRT2:2 的平方根。

          Math.E // 2.718281828459045

          Math.LN2 // 0.6931471805599453

          Math.LN10 // 2.302585092994046

          Math.LOG2E // 1.4426950408889634

          Math.LOG10E // 0.4342944819032518

          Math.PI // 3.141592653589793

          Math.SQRT1_2 // 0.7071067811865476

          Math.SQRT2 // 1.4142135623730951

          這些屬性都是只讀的,不能修改。

          靜態方法

          Math對象提供以下一些靜態方法。

          Math.abs():絕對值

          Math.ceil():向上取整

          Math.floor():向下取整

          Math.max():最大值

          Math.min():最小值

          Math.pow():冪運算

          Math.sqrt():平方根

          Math.log():自然對數

          Math.exp():e的指數

          Math.round():四舍五入

          Math.random():隨機數

          Math.abs()

          Math.abs方法返回參數值的絕對值。

          Math.abs(1) // 1

          Math.abs(-1) // 1

          Math.max(),Math.min()

          Math.max方法返回參數之中最大的那個值,Math.min返回最小的那個值。如果參數為空, Math.min返回Infinity, Math.max返回-Infinity。

          Math.max(2, -1, 5) // 5

          Math.min(2, -1, 5) // -1

          Math.min() // Infinity

          Math.max() // -Infinity

          Math.floor(),Math.ceil()

          Math.floor方法返回小于或等于參數值的最大整數(地板值)。

          Math.floor(3.2) // 3

          Math.floor(-3.2) // -4

          Math.ceil方法返回大于或等于參數值的最小整數(天花板值)。

          Math.ceil(3.2) // 4

          Math.ceil(-3.2) // -3

          這兩個方法可以結合起來,實現一個總是返回數值的整數部分的函數。

          function ToInteger(x) {

          x = Number(x);

          return x < 0 ? Math.ceil(x) : Math.floor(x);

          }

          ToInteger(3.2) // 3

          ToInteger(3.5) // 3

          ToInteger(3.8) // 3

          ToInteger(-3.2) // -3

          ToInteger(-3.5) // -3

          ToInteger(-3.8) // -3

          上面代碼中,不管正數或負數,ToInteger函數總是返回一個數值的整數部分。

          Math.round()

          Math.round方法用于四舍五入。

          Math.round(0.1) // 0

          Math.round(0.5) // 1

          Math.round(0.6) // 1

          ?

          // 等同于

          Math.floor(x + 0.5)

          注意,它對負數的處理(主要是對0.5的處理)。

          Math.round(-1.1) // -1

          Math.round(-1.5) // -1

          Math.round(-1.6) // -2

          Math.pow()

          Math.pow方法返回以第一個參數為底數、第二個參數為指數的冪運算值。

          // 等同于 2 ** 2

          Math.pow(2, 2) // 4

          // 等同于 2 ** 3

          Math.pow(2, 3) // 8

          下面是計算圓面積的方法。

          var radius = 20;

          var area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);

          Math.sqrt()

          Math.sqrt方法返回參數值的平方根。如果參數是一個負值,則返回NaN。

          Math.sqrt(4) // 2

          Math.sqrt(-4) // NaN

          Math.log()

          Math.log方法返回以e為底的自然對數值。

          Math.log(Math.E) // 1

          Math.log(10) // 2.302585092994046

          如果要計算以10為底的對數,可以先用Math.log求出自然對數,然后除以Math.LN10;求以2為底的對數,可以除以Math.LN2。

          Math.log(100)/Math.LN10 // 2

          Math.log(8)/Math.LN2 // 3

          Math.exp()

          Math.exp方法返回常數e的參數次方。

          Math.exp(1) // 2.718281828459045

          Math.exp(3) // 20.085536923187668

          Math.random()

          Math.random()返回0到1之間的一個偽隨機數,可能等于0,但是一定小于1。

          Math.random() // 0.7151307314634323

          任意范圍的隨機數生成函數如下。

          function getRandomArbitrary(min, max) {

          return Math.random() * (max - min) + min;

          }

          getRandomArbitrary(1.5, 6.5)

          // 2.4942810038223864

          任意范圍的隨機整數生成函數如下。

          function getRandomInt(min, max) {

          return Math.floor(Math.random() * (max - min + 1)) + min;

          }

          getRandomInt(1, 6) // 5

          返回隨機字符的例子如下。

          function random_str(length) {

          var ALPHABET = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ';

          ALPHABET += 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz';

          ALPHABET += '0123456789-_';

          var str = '';

          for (var i = 0; i < length; ++i) {

          var rand = Math.floor(Math.random() * ALPHABET.length);

          str += ALPHABET.substring(rand, rand + 1);

          }

          return str;

          }

          random_str(6) // "NdQKOr"

          上面代碼中,random_str函數接受一個整數作為參數,返回變量ALPHABET內的隨機字符所組成的指定長度的字符串。

          三角函數方法

          Math對象還提供一系列三角函數方法。

          Math.sin():返回參數的正弦(參數為弧度值)

          Math.cos():返回參數的余弦(參數為弧度值)

          Math.tan():返回參數的正切(參數為弧度值)

          Math.asin():返回參數的反正弦(返回值為弧度值)

          Math.acos():返回參數的反余弦(返回值為弧度值)

          Math.atan():返回參數的反正切(返回值為弧度值)

          Math.sin(0) // 0

          Math.cos(0) // 1

          Math.tan(0) // 0

          ?

          Math.sin(Math.PI / 2) // 1

          ?

          Math.asin(1) // 1.5707963267948966

          Math.acos(1) // 0

          Math.atan(1) // 0.7853981633974483

          ————————————————

          數字進制轉換


          什么是進制
          ●進制就是達到指定位置時候進一位
          ●常見的進制
          ○十進制: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 99 100 101
          ○二進制: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000
          ○八進制: 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21
          ○十六進制: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 10 ... 19 ... 1a 1b 1c 1d 1e 1f 20 21 ...

          十進制轉換成其它進制
          ●toString() 方法可以在數字轉成字符串的時候給出一個進制數
          ○語法: toString(你要轉換的進制)
          ○返回值:轉換好進制以后的數字
          ■轉換好的數字是字符串類型

          var num = 100
          console.log(num.toString(2)) // 1100100
          console.log(num.toString(8)) // 144
          console.log(num.toString(16)) // 64

          其它進制轉換成十進制
          ●parseInt() 方法可以在字符串轉成數字的時候把字符串當成多少進制轉成十進制
          ○語法: parseInt(要轉換的字符串,當作幾進制來轉換)
          ○返回值:轉換后的數字 你把數字當做幾進制使用, 轉換成十進制
          ■結果是數字類型

          var str = 100
          console.log(parseInt(str, 8)) // 64 把 100 當作一個 八進制 的數字轉換成 十進制 以后得到的
          console.log(parseInt(str, 16)) // 256 把 100 當作 十六進制 的數字轉換成 十進制 以后得到的
          console.log(parseInt(str, 2)) // 4 把 100 當作 二進制 的數字轉換成 十進制 以后得到的

          保留小數位


          ●作用:toFixed() 方法可把 Number 四舍五入為指定小數位數的數字。
          ●語法:數字.toFixed(要保留的小數點后的位數)
          ●返回值:返回一個小數點后有固定的 多少位數字的數字,是一個字符串類型
          ○小數位不夠的時候, 使用 0 補齊

          var n = 100.123
          // 把 n 保留 2 位小數以后賦值給 res
          var res = n.toFixed(2)
          console.log(res) //100.12
          //返回的是字符串類型
          console.log(typeof res); //string
          //保留的小數位數多余原數字的小數位數
          var res1 = n.toFixed(4)
          console.log(res1) //100.1230  保留的位數不夠用0補齊

          案例-隨機整數封裝

          function fn(a, b) {
            // 1. 確定兩個數字的大小關系
            var min = Math.min(a, b)
            var max = Math.max(a, b)
          
            // 2. 求出兩數差
            var sub = max - min
          
            // 3. 求出 0 ~ sub 之間的隨機整數
            var r1 = Math.floor(Math.random() * (sub + 1))
          
            // 4. 把 r1 + min
            var res = r1 + min
          
            return res
          }
          
          //優化上述方案1:
          function fn(a, b) {
            // 1. 確定兩個數字的大小關系
            var min = Math.min(a, b)
            var max = Math.max(a, b)
          
            return Math.floor(Math.random() * (max - min + 1)) + min
          }
          
          // 優化上述方案2:
          function fn(a, b) {
            return Math.floor(Math.random() * (Math.abs(a - b) + 1)) + Math.min(a, b)
          }

          案例-封裝函數返回隨機顏色字符串

          文為“2022年第四屆數學文化征文活動


          數學在折紙設計中的應用

          ——單五密鋪type 14的精確繪圖及折紙設計

          作者 : 傅薇

          作品編號:095


          摘要:有什么作品是可以將數學、鋪砌藝術、文化圖飾、折紙設計聯系起來的嗎?有,設計密鋪類型的鑲嵌折紙。本文將闡述15種單一凸五邊形密鋪中type 14的折紙設計過程及期間借助強大輔助工具——數學的種種應用。


          一、密鋪/鑲嵌介紹


          折紙與數學,密鋪與鑲嵌,不同的概念,卻有著緊密的聯系。有人可能會說,密鋪/鋪砌(tiling)與鑲嵌(tessellation),在數學里是統一的概念(后文會介紹不同之處),都是指用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進行拼接,使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片。鑲嵌最早可以追朔到大約公元前4000年由蘇美爾人用于建造裝飾墻,后來逐漸被人們用于鋪砌地磚等,其中比較知名的有開羅鑲嵌(Cairo tiling)、Marjorie Rice設計被用于鋪設美國數學學會(MAA)華盛頓總部大廳地板的versatile圖案,以及2020年諾貝爾物理學獎得主羅杰·彭羅斯(Roger Penrose)設計的彭羅斯鑲嵌(Penrose tiling)。前兩種分屬于單一凸五邊形密鋪中的type 4和type 5,歸屬于周期密鋪;而第三種彭羅斯鑲嵌屬于非周期密鋪。如圖所示:


          圖 1.1: Cairo tiling, Marjorie Rice’s versatile and Penrose tiling.

          數學家們善于從現實世界抽象、提煉他們感興趣的內容,進行研究,進而形成完整的理論,從而這些理論又對這些內容的發展和應用起到了促進作用。密鋪/鑲嵌就是這些內容之一,形成的理論包括:

          1. 平面密鋪/鑲嵌的分類

          表 1: 密鋪/鑲嵌分類(筆者根據萬維百科制表)

          圖 1.2: 正則(三種)與半正則鑲嵌(八種)(中間兩圖相同).

          2.17種墻紙群/平面對稱群

          圖 1.3: 約翰·康威(John Conway)書中介紹的17種平面對稱群.

          圖 1.4: 彩圖版17種平面對稱群.

          3.多邊形單密鋪問題

          a.任意三角形、任意凸四邊形(如:正方形、長方形)、正六邊形都可以密鋪整個平面,且不規則六邊形只有三種可以密鋪整個平面。

          b.任何邊數n≥7的凸多邊形都沒有單密鋪方式。

          c.從1918年到2015年,數學家發現了不規則五邊形的單密鋪方式只有十五種。

          圖 1.5: 中文維基上的五邊形鑲嵌介紹.

          圖 1.6: 15種單一凸五邊形鑲嵌平面單元介紹.

          二、繪制精確圖示

          2.1type 14介紹及圖示分析

          1985年,Rolf Stein發現了Type 14,這是21世紀前單五密鋪的最后一次新發現,被刊登作為當年《數學雜志》的封面,在MAA出版的書中也有相關介紹。

          圖 2.1: THE HARMONY OF THE WORLD 和 MATHEMATICS MAGZINE兩本書/雜志上有type 14 相關介紹.

          筆者在網上搜索到的type 14介紹包含四個公式,有些還給出了具體的角度(近似),但沒給出推導方法,于是筆者嘗試從頭開始分析、推導。并在原來基礎上給出了其他必要的角度關系(右圖)。


          圖 2.2: type 14單元介紹及筆者推導出的角度關系.
          2.2數學計算求精確解

          (為節省空間,筆者將計算過程用圖片形式展示:)

          圖 2.3: 根據type 14的四個公式計算出其單元的各角度.

          經過前面的計算,得出了與資料一致的近似角度。但對于折紙來說,近似角度是不行的,想要進行折紙設計,必須在折紙軟件里畫出精確圖示,否則邊不重疊、點不重合


          其實,根據上題(圖片)中的方程: 也可以用精確邊長來表示/限定角度:


          根據實際情況取正值,做出各邊長后,則角度可確定。


          不僅如此,根據上題(圖片)中的一次方程還可以換種方法解題,得出同樣的結論。(下面第一圖中是將該一次方程轉化為3AB-2CD=BC )。經過前面的計算,得出了與資料一致的近似角度。但對于折紙來說,近似角度是不行的,想要進行折紙設計,必須在折紙軟件里畫出精確圖示,否則邊不重疊、點不重合。


          圖 2.4: 求type 14單元角度的兩道異曲同工題(筆者出題).
          下面給出兩題中第一題的解答,根據解出的邊長、角度關系即可畫出type 14的單元圖示。

          圖 2.5: 求type 14單元角度的另解.

          圖 2.6: 根據題解在折紙軟件中繪圖,角度匹配.

          根據計算結果,可以在折紙軟件中畫出需要的角度(小數點后的數字無限匹配)。下面介紹一下長度的繪制方法(筆者采用第三種方法)。


          圖 2.7: 繪制長度的三種方式(函數曲線、海螺圖、勾股三角形).


          筆者除了前文提到的用來算type 14角度的幾道題是自行出題外,還根據type 14的有限條件出過不少題,感興趣的小伙伴可以一試(如下題)。出題是思路的整理過程,解題是思維的訓練過程,一題多解是解題的升級訓練,它們都是折紙設計之外的收獲。

          圖 2.8: 根據type 14的已知條件自行出題(額外練習).

          2.3畫出精確圖示

          至此,折紙設計的第一步工序完成,可畫出type 14密鋪的精確圖示。根據著色、分組的不同,呈現出不同的埃舍爾鑲嵌畫效果。

          圖 2.9: 兩幅type 14密鋪圖示(埃舍爾效果).

          三、鑲嵌折紙設計

          3.1鑲嵌折紙的概念

          前文提到在數學里tiling和tessellation是表示相同內涵的統一概念。但在折紙里卻不同。

          圖 3.1: 《鑲嵌折紙》書中關于“鑲嵌”及“鑲嵌折紙”概念的介紹.

          鑲嵌折紙是通過對于一張紙進行折疊、扭轉令其折痕形成重復性的可簡可繁、可平面可立體的幾何圖案的一種幾何設計,起源于伊斯蘭藝術。鑲嵌折紙重點在于一紙,英文用origami tessellation表示。建筑是對大自然建造活動的延續,而鑲嵌折紙又是對建筑圖案藝術的紙上延續(從《鑲嵌折紙》的書封可窺豹一斑)。

          3.2不同分組方式

          數學中可將平面圖案歸納為17種對稱群,折紙設計中也需要考慮類似的對稱問題。如何分組才更易于折紙設計。筆者對于這個type 14嘗試了很多種分組方法。分組之后再考慮設計每個分組單元,輪番嘗試后取最優解。

          圖 3.2: 為折紙設計筆者嘗試繪制type 14不同的分組方式.

          3.3基元(lattice)設計、組合嘗試

          下面的分組設計對應不同的結構基元(lattice):

          圖 3.3: type 14單元折紙設計.

          而相同的結構基元在數學中是一種畫法,在折紙中可能存在不同的設計方法,如下圖。權衡每種基元是否可組合作為篩選條件再進入下一環節。

          圖 3.4: 嘗試type 14相同基元的不同折紙設計.

          最后,選擇出一種能夠進行組間匹配的適合的基元折紙設計方法:

          圖 3.5: 篩選出一種適合的type 14基元折紙設計方案.

          設計的折紙基元展開后各單元塊的位置(松散結構)與type 14圖示中(緊湊結構)的角度、邊長關系應保持一致,通過下面兩圖可以對比、了解一下。

          圖 3.6: type 14圖示(折紙成品預呈現的緊湊結構).


          圖 3.7: type 14圖示(折紙設計的松散結構).

          3.4 整體設計、畫圖、折制

          經過不同的嘗試后,需要綜合考量,確定最后的方案。在電腦的折紙軟件中繪制設計好的折紙CP圖(crease pattern)。繪制無誤后,軟件會按照圖紙自動生成/模擬折疊后的紙張狀態(壓平狀態),呈現出所設計的圖案,包括紙張前面(front)、背面(back)和背光(backlit)。

          這個作品也可以折制成立體(不壓平)狀態,無論壓平或不壓平,它都是我目前十五種單五密鋪設計中最簡潔的折紙設計手法(有人稱之為freeform)。通常鑲嵌折紙的成品率(成品圖案的紙張有效占比)為40-50%,這種設計成品率極高、設計手法靈活,也是我十年鑲嵌折紙中設計成品率最高的一次。

          圖 3.8: 一紙設計type 14的軟件模擬(平面/壓平)及立體折紙作品.

          折紙設計的精髓可能就是尋找一種適合的單元對稱方式,讓分布在紙張上的單元塊能邊對邊、點對點地結合,將單元之間的過渡紙層折疊/隱藏起來,最終形成設計好的圖案。有些圖案有一定之規,如標準的正多邊形或一些已有既定模型的圖案;然而對于這種單一凸五邊形密鋪形式的折紙設計,沒有錨點,沒有定式,靈活多變,無從下手是常態,最后完成只能說是天作巧合。這類設計也許學過群論、組合學、幾何學、對稱等相關知識后,能駕輕就熟吧。

          四、總結

          4.1個人成長

          折紙設計之路,猶如高空踩鋼絲,險象環生,又風景這邊獨好,令人悲喜交加。每一次新的嘗試,都是對未知的挑戰,不只需要勇氣,還要有一無所獲的心理準備和可能一敗涂地的結果預判。

          當然,它還培養了個人獨立思考的能力、發現/解決問題的能力、韌性和耐力,以及突破繭房、擴展思維的能力。折紙設計這片藍海,令人癡迷、流連忘返。

          4.2國際現狀

          4.2.1國外研究

          去年(2021年)國外的紀念馬丁?加德納線上報告中,有兩位報告人講述了密鋪/鑲嵌的相關內容。一位女報告人Rachel Quinlan講述了利用一張鑲嵌折紙的圖案變化(手動改變局部花紋)來展現不同的對稱群。另一位男報告人Glen Whitney講述了如何尋找單五密鋪中密鋪單元的整數邊長。

          圖 4.1: Rachel Quinlan的密鋪群鑲嵌折紙報告及筆者仿折她的鑲嵌折紙作品.

          圖 4.2:筆者復刻/破解了Rachel Quinlan報告中的十個折紙作品(第1,2小圖的背光圖中透光部分朝向不同).

          圖 4.3: Glen Whitney的整數邊凸五邊形密鋪報告及五邊形模型展示

          筆者在單五密鋪折紙設計中也碰到過密鋪單元的整數邊問題,但折紙中不要求所有邊長都是整數,因為如果是直角三角形,滿足直角邊是整數,斜邊也自然在紙張預打線的的格點上(比如:正方形、正六邊形或其他),同樣滿足折紙徒手打線的要求。從這點看,我們要求整數邊的側重點不同。

          4.2.2本人研究

          下圖中的對勾部分是筆者這兩年來已設計完成的單五密鋪的鑲嵌折紙項目(每個均為一紙作品)。其中左上角數字表示維基百科上每種類別(type n)因其對稱方式(即前文提到的墻紙群/平面對稱群)不同(如:P2(2222)、pgg(22*)、cmm(2*22)等)又有所區分的種類數。比如,type 1有7種分類,則折紙作品也要設計7個,全部完成至少27個作品。

          圖 4.4: 筆者完成的十五種單五密鋪中的幾個折紙設計(type 10完成1種).

          根據前文,相信讀者對于不規則多邊形密鋪圖形的鑲嵌折紙設計有了一定了解,那么對于某一確定圖案來說是否只有一種折紙設計可能?答案是否定的。以上圖中type 5(根據對稱方式包括兩類,筆者稱之為普通型和標準型)為例,筆者找到了中外折紙設計者共十二種(普通型5種+標準型7種)設計方法。數學題可以一題多解,折紙設計也可以,是更深層次的思維訓練和實踐體驗。

          圖 4.5: 中外設計者完成的type 5折紙設計(兩種類型共12個作品).

          4.3交叉前行

          客觀世界通過數學描述上升到理論層面——實踐出真知;反之,有意義的數學成果和內涵又在現實世界得到了應用和發展——理論指導實踐。密鋪從現實鋪地磚,到數學,再到藝術、科研、折紙等等,引發了一系列的連鎖反映、蝴蝶效應。世界很大,等待我們不斷探索;精彩未來,等待我們不斷創造。朋友,讓我們一起來感悟、領悟、覺悟其中的神奇之處吧。

          References
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          對稱與鑲嵌(公眾號:宇宙文明領路人)
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          什么形狀的地板可以鋪滿整個房間?數學家研究了100年!(b站)
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          永不重復的圖案(公眾號:中科院物理所 )
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          如何看待卡西?曼夫婦發現的可無縫密鋪平面的五邊形?(知乎)
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          美國新發現的「完美五邊形」究竟厲害在什么地方?
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          鋪個瓷磚而已,至于那么燒腦嗎?
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          Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem
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          【紀錄片】《埃舍爾?無限透視》(b站)
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          數學與藝術的結合——M.C. Escher 埃舍爾的平面鑲嵌畫(公眾號:智趣空間)
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          從鑲嵌折紙到建筑藝術
          https://mp.weixin.qq.com/s/v8EZtIPAYngQquYLhghtSA
          永不重復的花紋,不可能存在的圖案?
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          043 數學文化和我的數學學習

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          045 數學文化與我的數學學習

          046 我與數學文化

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          048 站在巨人的肩膀上學習數學

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          050 論數學文化

          051 我與數學文化

          052 正弦定理的源起與應用

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          059 通識教育視角下初中數學思維培養從直觀向抽象過渡的研究

          060 讀《古今數學思想》有感

          061 為什么圓的面積的導數等于周長?球的的體積的導數等于其表面積?

          062 《奇妙的數學文化》讀后感

          063 數學文化視角下《九宮圖的奧秘》教學設計

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          066 核心素養下的,數學文化中的美育滲透

          067 探尋數學之奇,欣賞數學之美

          068 框架思維——讀《數學這樣學就對了》有感

          069 從肌肉記憶到《幾何原本》第四公理

          070 《數學大世界》讀后感

          071 除法才是四則運算的基礎:兼與馬立平博士商榷

          072 從“海盜分金”到“囚徒困境”——博弈該如何進行?

          073 “0”與“1”的辯證法和數學學習之路

          074 感悟數學

          075 我的好伙伴:數學

          076 一則寓言故事帶來的教學啟發

          077 神奇的數學 ——最大公因數、最小公倍數

          078 怎樣學好數學

          079 “7”真是個神奇的數字

          080 《一個定理的誕生:我與菲爾茨獎的一千個日夜》讀后感

          081 夢想中的職業,都與數學息息相關

          082 哪?有數,哪?就有美?讀《數學之美》有感

          083 探索信息技術融入初中數學文化實踐活動

          084 秦九韶數學案——隨機抽樣統計推理的反問題

          085 第四次數學危機

          086 基于三階魔方的STREAM教學設計

          087 趣味家庭作業 引領學生學習

          088 數學之道

          089 了解微積分后的那些事……

          090 不會?不,會

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